피보나치 수열의 증가

피보나치 수열은 다음과 같다.

번째 피보나치 수를 이라 하자. 이고, 이상의 에 대해 은 다음과 같이 정의된다.

위 식의 양 변을 로 나누면 다음의 식을 얻는다.

이고, 이 5 이상일 때 위 식을 재귀적으로 변형하면 다음의 결론을 얻는다.

그리고  이므로

즉, 이 5 이상일 때 이 성립한다. 그런데 이것은 일 때도 성립함을 확인할 수 있다.

따라서 는 모든 자연수 에 대하여 성립한다. 즉, 피보나치 수열은  이상으로 빨리 증가함을 알 수 있다.

추가

라 하자. (이때 )

즉, 피보나치 수열에서 인접한 두 항의 비율은 에 수렴하는데, 이 값은 황금비(Golden Ratio)다.