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피보나치 수열은 다음과 같다.
번째 피보나치 수를
이라 하자.
이고,
이상의
에 대해
은 다음과 같이 정의된다.
위 식의 양 변을 로 나누면 다음의 식을 얻는다.
이고,
이 5 이상일 때 위 식을 재귀적으로 변형하면 다음의 결론을 얻는다.
그리고 이므로
즉, 이 5 이상일 때
이 성립한다. 그런데 이것은
일 때도 성립함을 확인할 수 있다.
따라서 는 모든 자연수
에 대하여 성립한다. 즉, 피보나치 수열은
이상으로 빨리 증가함을 알 수 있다.
추가
라 하자. (이때
)
즉, 피보나치 수열에서 인접한 두 항의 비율은 에 수렴하는데, 이 값은 황금비(Golden Ratio)다.